已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=,（x，y∈R）

（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；

（2）將點(diǎn)P（x，y）的軌跡按向量a=（-2，8）平移到曲線C，M,N是曲線C上的兩不同的點(diǎn)，如果⊥，求證直線MN恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

解:（1）∵=x=x（2，1）=（2x，x）,∴D（2x，x）.

∵=（1，7），=（5，1）,∴B（1，7），C（5，1）,

∴=（1-2x，7-x），=（5-2x，1-x）.

∴y==（1-2x）·（5-2x）+（7-x）（1-x）=5x2-20x+12.

∴y=5（x-2）2-8這就是所求的點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程.

（2）將y=f（x）的圖象按向量平移到曲線C，所得的曲線C的方程為：y=5x2.

設(shè)M（x 1，y1），N（x2，y2）,則OM⊥ON·=0x1x2+y1y2=0.

設(shè)直線MN的方程為：y=kx+b（b＞0）代入y=5x2得,

5x2-kx-b=0，其 Δ=k2+20b＞0恒成立,

x1+x2=,x1x2=-,而=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=-+b2=b2=-x1x2=,

由 b＞0,∴b=，故直線MN的方程為y=kx+.

所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(0, ).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)P在區(qū)域
y≤x
x+y≥2
y＞3x-6
內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則
OA
•
OP
的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(cosx，2
3
)，N(2cosx，sinxcosx+
3
6
a)其中x∈R，a為常數(shù)，
設(shè)函數(shù)f(x)=
OM
•
ON

（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸方程；
（Ⅱ）若角C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角中的最大角，且y=f（C）的最小值為0，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M（3，2），若N（x，y）滿足不等式組
x≥1
y≥0
x+y≤4
，則
OM
•
ON
 的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足不等式組
x-3y+1≤0
x+y-3≤0
x-1≥0
，則tan∠AOB的最大值等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M(cosx，2
3
)，N(2cosx，sinxcosx+
3
6
a)其中x∈R，a為常數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=
OM
•
ON
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若角C∈[
π
3
，π)且y=f（C）的最小值為0，求a的值；
（3）在（2）的條件下，試畫(huà)出y=f（x）（x∈[0，π]）的簡(jiǎn)圖．

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