Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a 1=

2

5

，且對任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求證：Tn＜

4

15

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，從而可得，

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，從而可證數(shù)列列{

1

an

}是等差數(shù)列，可求a_n
（2）由已知可得bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)，利用裂項(xiàng)即可求解數(shù)列的和

解答：證明：（1）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1
兩邊同時(shí)除以a_na_n+1可得，

1

an+1

-

1

an

=

3

2

∴數(shù)列列{

1

an

}是以

1

a1

=

5

2

為首項(xiàng)，以

3

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

5

2

+

3

2

(n-1)=

3n+2

2

∴a_n=

2

3n+2

解：（2）bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

4

3

(

1

5

-

1

3n+5

)＜

4

15

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的 遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題