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(08年十校聯考) (14分) 已知

(1)求軌跡E的方程;

(2)若直線過點且與軌跡交于兩點,

①無論直線繞點怎樣轉動,在軸上總存在定點,使恒成立,求實數的值;

②過作直線的垂線,求的取值范圍。

解析:(1)由知,點的軌跡是以為焦點的雙曲線右支,

,故軌跡的方程為                  3分

(2)當直線的斜率存在時,設直線方程為

與雙曲線方程聯立消去得:

,解得                                                                       5分

,∴,

故得對任意的恒成立,

,解得,∴當時,              8分

當直線的斜率不存在時,由知結論也成立

綜上,當時,                                                                                 9分

②∵,∴直線是雙曲線右準線,

由雙曲線定義得

,∴,故

注意到直線的斜率不存在時,,此時

綜上,                                                                                                             14分

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