【題目】已知函數(shù)
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)對進行求導,得,利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率,最后根據(jù)點斜式求出切線方程;
(2)根據(jù)題意,化簡得,求出導函數(shù),通過有兩個不同的正根,即有兩個不同的正根,列出不等式組,由恒成立條件轉(zhuǎn)化為恒成立,構(gòu)造新函數(shù),利用導函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值,進而可求得的取值范圍.
解:(1)因為,
所以,
所以切線斜率,又,
故曲線在點處的切線方程為:
,即.
(2)因為,
所以,
因為函數(shù)有兩個極值點,,
則有兩個不同的正根,即有兩個不同的正根,
則,
不等式恒成立等價于
恒成立,
又
,
所以,
令,則,
所以在上單調(diào)遞減,
所以,所以.
所以實數(shù)的取值范圍為:.
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【題目】已知一塊邊長為4的正方形鋁板(如圖),請設計一種裁剪方法,用虛線標示在答題卡本題圖中,通過該方案裁剪,可焊接做成一個密封的正四棱柱(底面是正方形且側(cè)棱垂于底面的四棱柱),且該四棱柱的全面積等于正方形鋁板的面積(要求裁剪的塊數(shù)盡可能少,不計焊接縫的面積),則該四棱柱外接球的體積為________.
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【題目】受疫情影響,某電器廠生產(chǎn)的空調(diào)滯銷,經(jīng)研究決定,在已有線下門店銷售的基礎上,成立線上營銷團隊,大力發(fā)展“網(wǎng)紅”經(jīng)濟,當線下銷售人數(shù)為(人)時,每天線下銷售空調(diào)可達(百臺),當線上銷售人數(shù)為(人)()時,每天線上銷量達到(百臺).
(1)解不等式:,并解釋其實際意義;
(2)若該工廠大有銷售人員()人,按市場需求,安排人員進行線上或線下銷售,問該工廠每天銷售空調(diào)總臺數(shù)的最大值是多少百臺?
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為:,(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為
(1)求曲線和直線l的直角坐標方程;
(2)若點在曲線上,且點到直線l的距離最小,求點的坐標.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當,()時,求證:;
(3)若函數(shù)有兩個極值點,,求證:(e為自然對數(shù)的底數(shù))
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【題目】已知正項數(shù)列,滿足:對任意正整數(shù),都有,,成等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列,的通項公式;
(Ⅲ)設=++…+,如果對任意的正整數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中, ,動點滿足:以為直徑的圓與軸相切.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設點的軌跡為曲線,直線過點且與交于兩點,當與的面積之和取得最小值時,求直線的方程.
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【題目】已知直線是平面和平面的交線,異面直線,分別在平面和平面內(nèi).
命題:直線,中至多有一條與直線相交;
命題:直線,中至少有一條與直線相交;
命題:直線,都不與直線相交.
則下列命題中是真命題的為( )
A.B.C.D.
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