Question

在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列（整點(diǎn)即橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）：與：，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②線段，其中，則稱與互為正交點(diǎn)列.
（1）求：的正交點(diǎn)列；
（2）判斷：是否存在正交點(diǎn)列？并說明理由；
（3）N，是否都存在無正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1），（2）不存在，（3）存在.

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813373460.png" style="vertical-align:middle;" />與的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同，所以，只需求.由及，可解得本題實(shí)質(zhì)考查對(duì)新定義的理解.關(guān)鍵逐條代入驗(yàn)證.（2）與（1）相似，從求角度出發(fā)，能求出來就存在，否則就不存在.首先有求時(shí)，不是設(shè)四個(gè)未知數(shù)，二是利用向量垂直關(guān)系，設(shè)三個(gè)未知數(shù)，即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813622702.png" style="vertical-align:middle;" />相同，所以有因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813638602.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程組顯然不成立，即不存在.
（3）按照（1）的思路，要保證方程組無解，須使得整數(shù)盡量取，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，取.②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，取,,就可滿足題意.
試題解析：解：
（1）設(shè)點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是,
由正交點(diǎn)列的定義可知,設(shè)，
，，
由正交點(diǎn)列的定義可知,,
即解得
所以點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是.   3分
（2）由題可得，
設(shè)點(diǎn)列是點(diǎn)列的正交點(diǎn)列，
則可設(shè),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813622702.png" style="vertical-align:middle;" />相同，所以有

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042813638602.png" style="vertical-align:middle;" />，方程（2）顯然不成立，
所以有序整點(diǎn)列不存在正交點(diǎn)列；       8分
（3），都存在整點(diǎn)列無正交點(diǎn)列.           9分
，設(shè)其中是一對(duì)互質(zhì)整數(shù)，
若有序整點(diǎn)列是點(diǎn)列正交點(diǎn)列,
則，
則有
①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，取.
由于是整點(diǎn)列，所以有，.
等式（2）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，
所以該點(diǎn)列無正交點(diǎn)列；
②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
取,,
由于是整點(diǎn)列，所以有，.
等式（2）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，
所以該點(diǎn)列無正交點(diǎn)列.
綜上所述，，都不存在無正交點(diǎn)列的有序整數(shù)點(diǎn)列     13分