【題目】如圖所示的多面體中,四邊形ABCD為菱形,,,面ABCD,,,異面直線AF,CD所成角的余弦值為.
Ⅰ求證:面面EDB;
Ⅱ求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
Ⅰ推導(dǎo)出,從而,進而面EBD,由此能證明面面EDB;Ⅱ推導(dǎo)出四邊形EFOD是平行四邊形,從而,由面ABCD,得面ABCD,以O為原點,OA,OB,OF分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
Ⅰ四邊形ABCD是菱形,,
面ABCD,面ABCD,,
,面EBD,
面ACF,面面EDB.
Ⅱ四邊形ABCD是菱形,,,
,,
,,,,
四邊形EFOD是平行四邊形,,
面ABCD,面ABCD,
以O為原點,OA,OB,OF分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,0,,設(shè)0,,
則,,
,,
解得,則0,,1,,
1,,,,,
設(shè)平面AFB的法向量y,,
則,取,得,
設(shè)平面AFE的法向量y,,
則,取,得0,,
設(shè)二面角的平面角為,由圖形得為鈍角,
則.
二面角的余弦值為.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.
(1)求的值;
(2)若cosB,△ABC的面積為,求△ABC的周長.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的普通方程為,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線、的參數(shù)方程;
(Ⅱ)若點、分別在曲線、上,求的最小值.
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【題目】在中,D,E分別為AB,AC的中點,,以DE為折痕將折起,使點A到達點P的位置,如圖.
(1)證明:;
(2)若平面DEP平面BCED,求直線DC與平面BCP所成角的正弦值。
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【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管,隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照,,,分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(1)求圖中x的值;
(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為,若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談,求2人均為男生的概率.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若為銳角,, ,求及的值;
(2)函數(shù),若對任意都有恒成立,求實數(shù)的最大值;
(3)已知,,求及的值.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且2,,成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求數(shù)列的前項和;
(3)對于(2)中的,設(shè),求數(shù)列中的最大項.
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【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年產(chǎn)量y(萬噸) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)根據(jù)線性回歸方程預(yù)測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.(參考數(shù)據(jù):,計算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)
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