【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若在處的切線與直線平行,求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,+∞).(Ⅲ)詳見解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由導(dǎo)數(shù)幾何意義得在處的導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率,即,而,解得(Ⅱ)因?yàn)?/span>,所以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行討論:當(dāng)時(shí), >0,遞增區(qū)間為(0,+∞).當(dāng)時(shí),導(dǎo)函數(shù)有一零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可得:單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,+∞).(Ⅲ)先化簡所證不等式:要證,即證,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸有兩交點(diǎn),所以,所以需證:即.利用A,B兩點(diǎn)在上得,代入化簡得只需證,令,構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)可得g(t)在(0,+∞)上是增函數(shù),即g(t)< g(1)=0,從而得證
試題解析:(I)由題知的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),
且.
又∵f(x)的圖象在處的切線與直線平行,
∴,
解得. …………4分
(Ⅱ),
由x>0,知>0.
①當(dāng)a≥0時(shí),對任意x>0,>0,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
②當(dāng)a<0時(shí),令=0,解得,
當(dāng)時(shí),>0,當(dāng)時(shí),<0,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,+∞).… 9分
(Ⅲ)不妨設(shè)A(,0),B(,0),且,由(Ⅱ)知,
于是要證<0成立,只需證:即.
∵, ①
, ②
①-②得,
即,
∴,
故只需證,
即證明,
即證明,變形為,
設(shè),令,
則,
顯然當(dāng)t>0時(shí),≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),=0,
∴g(t)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又∵g(1)=0,
∴當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g(t)<0總成立,命題得證. ……………14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
①函數(shù)的最小正周期是;
②函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);
③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;
④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了解各!秶鴮W(xué)》課程的教學(xué)效果,組織全市各學(xué)校高二年級全體學(xué)生參加了國學(xué)知識(shí)水平測試,測試成績從高到低依次分為A、B、C、D四個(gè)等級.隨機(jī)調(diào)閱了甲、乙兩所學(xué)校各60名學(xué)生的成績,得到如下的分布圖:
(Ⅰ)試確定圖中與的值;
(Ⅱ)若將等級A、B、C、D依次按照分、80分、60分、50分轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù),試分別估計(jì)兩校學(xué)生國學(xué)成績的均值;
(Ⅲ)從兩校獲得A等級的同學(xué)中按比例抽取5人參加集訓(xùn),集訓(xùn)后由于成績相當(dāng),決定從中隨機(jī)選2人代表本市參加省級比賽,求兩人來自同一學(xué)校的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn),且
(1)求證:不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(2)當(dāng)λ為何值時(shí),平面BEF⊥平面ACD ?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過左焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)為橢圓的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中、, 為自然對數(shù)的底數(shù), 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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【題目】(1)若直角三角形兩直角邊長之和為12,求其周長的最小值;
(2)若三角形有一個(gè)內(nèi)角為,周長為定值,求面積的最大值;
(3)為了研究邊長滿足的三角形其面積是否存在最大值,現(xiàn)有解法如下:(其中, 三角形面積的海倫公式),
∴
,
而,,,則,
但是,其中等號(hào)成立的條件是,于是與矛盾,
所以,此三角形的面積不存在最大值.
以上解答是否正確?若不正確,請你給出正確的答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺(tái)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示,參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖.
(1)已知、,三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求,的值;
(2)該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在之間的人群定義為高消費(fèi)人群,其他的年齡段定義為潛在消費(fèi)人群,為了鼓勵(lì)潛在消費(fèi)人群的消費(fèi),該平臺(tái)決定發(fā)放代金券,高消費(fèi)人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費(fèi)人群每人發(fā)放80元的代金券,已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取了10人,現(xiàn)在要在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪,求此三人獲得代金券總和的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 , ,函數(shù)的圖象過點(diǎn),點(diǎn)與其相鄰的最高點(diǎn)的距離為.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)計(jì)算;
(3)設(shè)函數(shù),試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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