Question

（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）

首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足          

（I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一切都是奇數(shù)；

（II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.

Answer 1

解析：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。

解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，

則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。         

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。

（II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。

另一方面，若則；若，則

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，

綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。

（方法二）由得于是或。

          

因?yàn)?IMG height=44 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090619/20090619182824023.gif' width=136>所以所有的均大于0，因此與同號(hào)。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號(hào)。         

因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。