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【題目】如圖,已知橢圓 ,其左右焦點為 ,過點的直線交橢圓 兩點,線段的中點為, 的中垂線與軸和軸分別交于, 兩點,且、、構成等差數列.

(1)求橢圓的方程;

(2)記的面積為, 為原點)的面積為.試問:是否存在直線,使得?說明理由.

【答案】(1).(2)見解析

【解析】試題分析:(1)由、、構成等差數列,可得,又,可求得,則橢圓的方程可求;

(2)(2)假設存在直線,使得,顯然直線不能與 軸垂直..設 方程為 ,聯立橢圓方程,消去,得到 的方程,運用韋達定理和中點坐標公式,結合條件,得到的方程,解出即可判斷.

試題解析:

(1)因為、、構成等差數列,

所以,所以

又因為,所以,

所以橢圓的方程為

(2)假設存在直線,使得,顯然直線不能與, 軸垂直.

方程為,

將其代入,整理得,

, ,所以,

故點的橫坐標為,所以

因為,所以,解得,即. 

相似,∴若,則

整理得,因此此方程無解,

所以不存在直線,使得.

練習冊系列答案
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