【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為和，無單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明見解析

【解析】

（1）由，可得，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得的最值，即可求得單調(diào)區(qū)間；

（2）由于的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)，得恒成立. 故要證原結(jié)論成立，只要證恒成立即可.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得，即可求得答案.

（1）

.

令，則.

由得，且易知是的極大值點(diǎn).

故對(duì)任意的成立.

又的定義域?yàn)?/span>，

則的單調(diào)遞減區(qū)間為和，無單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）由于的定義域?yàn)?/span>，

得恒成立.

故要證原結(jié)論成立，只要證恒成立即可.

令，

下只要證即可.

令.

則對(duì)任意的恒成立.

故在和上分別單調(diào)遞增.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

又，故恒成立；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，

又，故恒成立.

綜上所述，對(duì)任意的成立，故原結(jié)論成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查某校學(xué)生每周體育鍛煉落實(shí)的情況，采用分層抽樣的方法，收集100位學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:).根據(jù)這100個(gè)樣本數(shù)據(jù)，制作出學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示).

（Ⅰ）估計(jì)這100名學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生每周平均鍛煉時(shí)間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）求；

（ii）若該校共有5000名學(xué)生，記每周平均鍛煉時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為，試求.

附：，若~，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是：

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程：

（Ⅱ）點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值與最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，，垂足為，若的最小值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在處的切線平行于軸，是否存在整數(shù)，使不等式在時(shí)恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若在上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|.

(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；

(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求的長(zhǎng)度；

（Ⅲ）求直線與所成角的余弦值.

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