已知函數(shù)，（＞0，，以點(diǎn)為切點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，記函數(shù)圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積為．

（1）求；

（2）求證：＜；

（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：＜．來

 

【答案】

（1）；（2）詳見試題分析；（3）詳見試題分析．

【解析】

試題分析：（1）先對求導(dǎo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，寫出切線的方程，最后利用定積分計(jì)算圖象與三條直線所圍成的區(qū)域面積，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）構(gòu)造函數(shù)（≥0），求導(dǎo)可得，從而函數(shù)（≥0）單調(diào)遞減，故，從而證得當(dāng)＞0時(shí)，＜成立，故＜，∴=＜；（3）由（2）：＜，由放縮法得＜，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可證明來＜．

試題解析：（1）易知，切點(diǎn)為，則方程為

即，∴=

（2）構(gòu)造函數(shù)（≥0），則，即函數(shù)，（≥0）單調(diào)遞減，而，∴，等號在時(shí)取得，∴當(dāng)＞0時(shí)，＜成立，∴知＜，∴=＜．

（3）＜＜，∴當(dāng)時(shí)，=＜；當(dāng)時(shí)，＜＜．

方法二：

（1）（2）同方法一；

（3）由（2）知＜，

（），

，又，，∴綜上所述：對一切，都有＜．

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．定積分的計(jì)算；3．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；4．利用放縮法和裂項(xiàng)相消法證明不等式．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
（n∈N+），則函數(shù)y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)，f(x)=
0(x＞0)
-π(x=0)
x
2
3
+1(x＜0)
，則復(fù)合函數(shù)f{f[f（-1）]}=（　�。�
A、x2+1
B、π2+1
C、-π
D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則其面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積．已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數(shù)y=cos3x在[0，
5π
6
]上的面積為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a，y=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
，則（1）函數(shù)y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
4
3
4
3
，（2）函數(shù)y=sin（3x-π）在[
π
3
，
4π
3
]上的面積為
π+
2
3
π+
2
3
．

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