【題目】已知函數(shù)f (x)=ex+2x2-3x.
(1)求證:函數(shù)f (x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點(diǎn).
(2)當(dāng)x≥時(shí),若關(guān)于x的不等式f (x)≥ x2+(a-3)x+1恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見解析.
(2) .
【解析】分析:(1)先求f′(0)與f′(1),看兩值是否異號(hào),然后證明f′(x)在[0,1]上單調(diào)性,即可證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極值點(diǎn);
(2)由題意得到ex-,x2-ax-1≥0,構(gòu)造g(x)=ex-x2-ax-1,分類討論求出g(x)的最值,即可得到a的范圍.
詳解:(1)f ′(x)=ex+4x-3,
∵f ′(0)=e0-3=-2<0,f ′(1)=e+1>0,
∴f ′(0)·f ′(1)<0.
令h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,則h′(x)=ex+4>0,
∴f ′(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,
∴f ′(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一零點(diǎn),
∴f(x)在區(qū)間[0,1]上存在唯一的極小值點(diǎn).
(2)由f(x)≥x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3x≥x2+(a-3)x+1,即ax≤ex-x2-1,
∵x≥,∴a≤
令g(x)=,則g′(x)=
令φ(x)=ex(x-1)-x2+1,則φ′(x)=x(ex-1).∵x≥,∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在[,+∞)上單調(diào)遞增.∴φ(x)≥φ()=->0.
因此g′(x)>0,故g(x)在[,+∞)上單調(diào)遞增,
則g(x)≥g()==2-,∴a的取值范圍是a≤2-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
當(dāng)時(shí),函數(shù)恒有意義,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
是否存在這樣的實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且,證明:;
(2)已知結(jié)論:在直角三角形中,若兩直角邊長(zhǎng)分別為,,斜邊長(zhǎng)為,則斜邊上的高.若把該結(jié)論推廣到空間:在側(cè)棱互相垂直的四面體中,若三個(gè)側(cè)面的面積分別為,,,底面面積為,則該四面體的高與,,,之間的關(guān)系是什么?(用,,,表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀右面的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入N的值為24,則輸出N的值為( 。
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)招聘大學(xué)畢業(yè)生,經(jīng)過綜合測(cè)試,錄用了14名女生和6名男生,這20名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示(單位:分),記成績(jī)不小于80分者為等,小于80分者為等.
(1)求女生成績(jī)的中位數(shù)及男生成績(jī)的平均數(shù);
(2)如果用分層抽樣的方法從等和等中共抽取5人組成“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”,則從等和等中分別抽幾人?
(3)在(2)問的基礎(chǔ)上,現(xiàn)從該“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)”中隨機(jī)抽取2人,求至少有1人是等的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】執(zhí)行如圖的程序框圖,為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為( )
A.5
B.4
C.3
D.2
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【題目】一個(gè)三位自然數(shù)的百位,十位,個(gè)位上的數(shù)字依次為,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)稱為“凹數(shù)”.若,且互不相同,任取一個(gè)三位數(shù),則它為“凹數(shù)”的概率是( )
A. B. C. D.
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【題目】國(guó)慶假期是實(shí)施免收小型客車高速通行費(fèi)的重大節(jié)假日,有一個(gè)群名為“天狼星”的自駕游車隊(duì),該車隊(duì)是由31輛身長(zhǎng)約為(以計(jì)算)的同一車型組成,行程中經(jīng)過一個(gè)長(zhǎng)為2725的隧道(通過隧道的車速不超過),勻速通過該隧道,設(shè)車隊(duì)的速度為,根據(jù)安全和車流的需要,當(dāng)時(shí),相鄰兩車之間保持的距離;當(dāng)時(shí),相鄰兩車之間保持的距離,自第一輛車車頭進(jìn)入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時(shí)間.
(1)將表示成為的函數(shù);
(2)求該車隊(duì)通過隧道時(shí)間的最小值及此時(shí)車隊(duì)的速度.
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