設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理、向量知識及三角形的面積公式，即可求得△AOB的面積是定值．
解答：解：（Ⅰ）2b=2⇒b=1，e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
⇒a=2，c=
3

所以橢圓的方程為
y2
4
+x2=1（5分）
（Ⅱ）是，證明如下：
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，即x1=x2，y1=-y2
當(dāng)
m
•
n
=0，得
x
2
1
-
y
2
1
4
=0⇒
y
2
1
=4
x
2
1

又A（x1，y1）在橢圓上，所以
x
2
1
+
4
x
2
1
4
=1⇒|x1|=
2
2
，|y1|=
2

所以S=
1
2
|x1||y1-y2|=
1
2
|x1|2|y1|=1（7分）
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+m，則
y=kx+m
y2
4
+x2=1
，∴（k2+4）x2+2kmx+m2-4=0
得到x1+x2=
-2km
k2+4
，x1x2=
m2-4
k2+4
（9分）
∵
m
•
n
=0，
∴x1x2+
y1y2
4
=0，∴x1x2+
(kx1+m)(kx2+m)
4
=0
代入整理，得2m2-k2=4，（10分）
∴S=
1
2
|m|
1+k2
|AB|=
1
2
|m|
(x1+x2)2-4x1x2
=
|m|
4k2-4m2+16
k2+4
=
4m2
2|m|
=1（12分）
綜上所述，所以三角形的面積為定值（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在定點(diǎn)Q，使得無論AB怎樣運(yùn)動都有∠AQF=∠BQF？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的Sn，設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn)，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λ（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求λ的最小正整數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是拋物線y=x2上的三個動點(diǎn)，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（1）求證：直線BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值．

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同步練習(xí)冊答案