Question

設向量

i

，

j

為直角坐標系的x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量

a

=(x+3)

i

+y

j

，

b

=(x-3)

i

+y

j

，且|

a

|-|

b

|=2，則滿足上述條件的點P（x，y）的軌跡方程是

 

．

Answer 1

分析：利用已知條件得出向量的坐標是解決本題的關鍵，然后利用已知條件向量長度的關系得出x，y的關系式，進而求出點P（x，y）的軌跡方程．

解答：解：由題意得出

a

=(x+3，y)，

b

=(x-3，y)滿足|

a

|-|

b

|=2，則得出

(x+3)2+y2

-

(x-3)2+y2

=2
表示點P（x，y）與點（-3，0）之間的距離減去點P（x，y）與點（3，0）距離的差為2（定植），并且該定值小于點（-3，0）與點（3，0）之間的距離，故該動點P在以點（-3，0）、點（3，0）為焦點的雙曲線右支上，并且實軸長為2，因此虛半軸長為

32-1

=

8

，故所求的點P（x，y）的軌跡方程是x2-

y2

8

=1(x＞0)或者（x≥1）．
故答案為：x2-

y2

8

=1(x＞0)或者（x≥1）．

點評：本題考查動點軌跡方程的求法，考查學生的轉化與化歸思想，關鍵要通過向量坐標得出動點的坐標滿足的曲線類型，利用圓錐曲線的定義求出所要求的軌跡方程．