Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x+x-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）在第一問的基礎(chǔ)上，求切線方程與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （I）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，分別令y=0和y=0，可得A，B，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（I）f（x）=e^x+x-1，f（1）=e，
f′（x）=e^x+1，f′（1）=e+1，
函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-e=（e+1）（x-1），
即y=（e+1）x-1；
（Ⅱ）設(shè)切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，
∴A（$\frac{1}{e+1}$，0），B（0，-1），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{e+1}$×1=$\frac{1}{2（e+1）}$，
∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2（e+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，考查三角形的面積公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．