Question

已知直線AB是拋物線x²=2py的任意一條弦，F(xiàn)是其焦點(diǎn)
①若

OA

•

OB

+p2=0（A，B異于原點(diǎn)）過A作x軸垂線l，直線OB交l于P，求點(diǎn)P軌跡方程；
②若AB過焦點(diǎn)F，拋物線以A，B為切點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)T，求證AT⊥BT，并指明點(diǎn)T在定直線上運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），代入

OA

•

OB

+P2=0并利用拋物線方程，算出x₁x₂=-2p²．再由直線OB的方程y=

y2

x2

x，與直線l的方程x=x₁進(jìn)行聯(lián)解，可得P點(diǎn)的軌跡方程；
②設(shè)T（x₀，y₀），利用求導(dǎo)得出k_AT=

x1

p

，k_BT=

x2

p

．根據(jù)AB是焦點(diǎn)弦，設(shè)AB的方程為y=kx+

p

2

，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得：x²-2pkx-p²=0，由根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁x₂=-p²，從而化簡(jiǎn)出k_AT•k_BT=-1，得到AT⊥BT．然后設(shè)直線AT的方程是y=

x1

p

x-y₁，代入T的坐標(biāo)化簡(jiǎn)得x₀x₁-py₁=py₀，同理得x₀x₂-py₂=py₀，從而得出直線AB的方程為x₀x-py=py₀，將焦點(diǎn)F（0，

p

2

）代入，解得y₀=-

p

2

，故點(diǎn)T在定直線y=-

p

2

上運(yùn)動(dòng)．

解答：解：①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．則

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，
∵

OA

•

OB

+P2=0，∴x₁x₂+y₁y₂+p²=0，
∵點(diǎn)A、B在拋物線x²=2py上，可得y₁y₂=

x12x22

4p2

∴x₁x₂+

x12x22

4p2

+p²=0，解之得x₁x₂=-2p²．
∵直線OB的方程是y=

y2

x2

x，直線l的方程是x=x₁，
兩式相乘，可得xy=

x1y2

x2

x，即xy=

x1x2

2p

x，化簡(jiǎn)得x（y+p）=0
又∵x≠0，∴y=-p，可得P點(diǎn)軌跡方程為y=-p．
②設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），T（x₀，y₀）．則k_AT=

x1

p

，k_BT=

x2

p

．
由于AB是焦點(diǎn)弦，可設(shè)AB的方程為y=kx+

p

2

，
代入x²=2py（p＞0）得x²-2pkx-p²=0，由韋達(dá)定理得x₁x₂=-p²，
∴k_AT•k_BT=

x1

p

•

x2

p

=

-p2

p2

=-1，故AT⊥BT．
由（1）知，AT的方程是y=

x1

p

x-y₁，
∴y₀=

x1

p

x₀-y₁，化簡(jiǎn)得x₀x₁-py₁=py₀，同理可得x₀x₂-py₂=py₀．
∴AB的方程為x₀x-py=py₀，
又∵AB過焦點(diǎn)F（0，

p

2

）
∴代入直線AB方程，得-

p2

2

=py₀，即y₀=-

p

2

，故點(diǎn)T在定直線y=-

p

2

上運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：本題研究與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的軌跡方程，著重考查直線及圓錐曲線的關(guān)系的知識(shí)，考查了方程的思想及解析幾何的常用解題思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題的能力，屬于難題．