已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,且.
⑴證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并寫出通項公式;
⑵若對恒成立,求的最小值;
⑶若成等差數(shù)列,求正整數(shù)的值.
(1)證明見解析,;(2)3;(3)
解析試題分析:(1)要證數(shù)列是等比數(shù)列,可根據(jù)題設(shè)求出,當然也可再求,雖然得出的成等比數(shù)列,但前面有限項成等比不能說明所有項都成等比,必須嚴格證明.一般方法是把已知式中的用代換得到,兩式相減得,這個式子中把用代換又得,兩式再相減,正好得出數(shù)列的前后項關(guān)系的遞推關(guān)系,正是等比數(shù)列的表現(xiàn).(2)由題間,對不等式用分離參數(shù)法得,求的最小值就與求的最大值(也只要能是取值范圍)聯(lián)系起來了.(3)只能由成等差數(shù)列列出唯一的等式,這個等式是關(guān)于的二元方程,它屬于不定方程,有無數(shù)解,只是由于都是正整數(shù),利用正整數(shù)的性質(zhì)可得出具體的解.
試題解析:(1)當n=1時,;當n=2時,
當n3時,有 得:
化簡得: 3分
又 ∴
∴是1為首項,為公比的等比數(shù)列
6分
(2)
∴ ∴ 11分
(3)若三項成等差,則有
,右邊為大于2的奇數(shù),左邊為偶數(shù)或1,不成立
∴ 16分
考點:(1)等比數(shù)列的通項公式;(2)不等式恒成立與函數(shù)的最值;(3)不定方程的正整數(shù)解問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a2=6,a5=12,數(shù)列{bn}的前n項和是Sn,且Sn+bn=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.
(3)記cn=,{cn}的前n項和為Tn,若Tn<對一切n∈N*都成立,求最小正整數(shù)m.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列的公比為,是的前項和.
(1)若,,求的值;
(2)若,,有無最值?并說明理由;
(3)設(shè),若首項和都是正整數(shù),滿足不等式:,且對于任意正整數(shù)有成立,問:這樣的數(shù)列有幾個?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為,其中為正實數(shù).
(1)用表示;
(2),若,試證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(3)若數(shù)列的前項和,記數(shù)列的前項和,求.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流.某大學大三學生夏某今年一月初向銀行貸款兩萬元作開店資金,全部用作批發(fā)某種商品.銀行貸款的年利率為6%,約定一年后一次還清貸款.已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%,每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%,當月房租等其他開支1500元,余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營,如此繼續(xù),假定每月月底該商品能全部賣出.
(1)設(shè)夏某第n個月月底余元,第n+l個月月底余元,寫出a1的值并建立與的遞推關(guān)系;
(2)預(yù)計年底夏某還清銀行貸款后的純收入.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知等比數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)在與之間插入個數(shù)連同與按原順序組成一個公差為()的等差數(shù)列.
①設(shè),求數(shù)列的前和;
②在數(shù)列中是否存在三項(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列?若存在,求出這樣的三項;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
給定數(shù)列.對,該數(shù)列前項的最大值記為,后項的最小值記為,.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列為,,,,寫出,,的值;
(Ⅱ)設(shè)是公比大于的等比數(shù)列,且.證明:是等比數(shù)列.
(Ⅲ)設(shè)是公差大于的等差數(shù)列,且,證明:是等差數(shù)列.
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