Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F(xiàn)（x）= ．
（1）若f（﹣1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于零．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+1=0，①

∵函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），

∴a＞0且判別式△=0，即b2﹣4a=0，②

由①②得a=1，b=2．

∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．

∴F（x）=

（2）解：g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，

函數(shù)的對稱軸為x= ，

要使函數(shù)g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是單調(diào)函數(shù)，

則區(qū)間[﹣2，2]必在對稱軸的一側(cè)，

即 或 ，

解得k≥6或k≤﹣2．

即實數(shù)k的取值范圍是k≥6或k≤﹣2

（3）解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），

即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，

∴2bx=0，解得b=0．

∴f（x）=ax2+1．

∴F（x）= ．

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，

不妨設(shè)m＞n，則m＞0，n＜0，

∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）=a（m﹣n）（m+n），

∵m+n＞0，a＞0，m﹣n＞0，

∴F（m）+F（n）=a（m﹣n）（m+n）＞0

【解析】（1）利用f（﹣1）=0和函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），建立方程關(guān)系，即可求出a，b，從而確定F（x）的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[﹣2，2]時，利用g（x）=f（x）﹣kx的單調(diào)區(qū)間與對稱軸之間的關(guān)系建立不等式進(jìn)行求解即可．（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數(shù)，得到b=0，然后判斷F（m）+F（n）的取值．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)的奇偶性(偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．