Question

（2013•烏魯木齊一模）設(shè)A、B為在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)上兩點，O為坐標(biāo)原點．若OA丄OB，則△AOB面 積的最小值為

a2b2

b2-a2

．

Answer 1

分析：設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-

1

k

x，點A（x₁，y₁）滿足滿足

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

，可求得|OA|²•|OB|²，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=-

1

k

x，
則點A（x₁，y₁）滿足

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

故x12=

a2b2

b2-a2k2

，y12=

k2a2b2

b2-a2k2

，
∴|OA|²=x12+y12=

(1+k2)a2b2

b2-a2k2

，同理|OB|²=

(1+k2)a2b2

k2b2-a2

，
故|OA|²•|OB|²=

(1+k2)a2b2

b2-a2k2

•

(1+k2)a2b2

k2b2-a2

=

(1+k2)2(a2b2)2

-a2b2+(a4+b4)k2-k4a2b2

∵

k2

(k2+1)2

=

1

k2+ 1 k2 +2

≤

1

4

（當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時，取等號）
∴|OA|²•|OB|²≥

4a4b4

(b2-a2)2

，又b＞a＞0，
故S_△AOB=

1

2

|OA||OB|的最小值為

a2b2

b2-a2

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)與三角形的面積，考查基本不等式，考查轉(zhuǎn)化與綜合運算及抽象思維能力，屬于難題．