Question

【題目】已知，函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經(jīng)過點(diǎn)的切線；

（Ⅱ）若函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）假設(shè)存在切線經(jīng)過，設(shè)切點(diǎn)為，利用切線方程推出矛盾得到證明.

（Ⅱ）函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，等價(jià)于有變號(hào)零點(diǎn)，取導(dǎo)數(shù)為0，參數(shù)分離，設(shè)新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍.

解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)，

設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)

則曲線在點(diǎn)處的切線

所以 化簡得：

令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， 為增函數(shù)，

所以，所以無解

所以曲線的切線都不經(jīng)過點(diǎn)

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，

所以在定義域上不單調(diào)，等價(jià)于有變號(hào)零點(diǎn)，

令，得，令．

因?yàn)?/span>，令，，

所以是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)，，，遞增；

當(dāng)，，，遞減；

故當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是