Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)a1 ， a2 ， …，an（n∈N*）組成集合An={a1 ， a2 ， …，an}，從集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為Tk（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如：對(duì)于數(shù)列{2n﹣1}，當(dāng)n=1時(shí)，A1={1}，T1=1；n=2時(shí)，A2={1，3}，T1=1+3，T2=13；
（1）若集合An={1，3，5，…，2n﹣1}，求當(dāng)n=3時(shí)，T1 ， T2 ， T3的值；
（2）若集合An={1，3，7，…，2n﹣1}，證明：n=k時(shí)集合Ak的Tm與n=k+1時(shí)集合Ak+1的Tm（為了以示區(qū)別，用Tm′表示）有關(guān)系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm ， 其中m，k∈N*，2≤m≤k；
（3）對(duì)于（2）中集合An ． 定義Sn=T1+T2+…+Tn ， 求Sn（用n表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=3時(shí)，A3={1，3，7}，

T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21

（2）證明：當(dāng)n=k+1時(shí)，集合Ak+1有k+1個(gè)元素，比n=k時(shí)的集合Ak多了一個(gè)元素：ak+1=2k+1﹣1．∴對(duì)應(yīng)的 包含兩個(gè)部分：（i）若 中不含ak+1，則 中的任何一項(xiàng)恰好為n=k時(shí)集合Ak的對(duì)應(yīng)的Tm中的一項(xiàng)．

（ii）若 中含ak+1的任何一項(xiàng)，除了ak+1，其余的m﹣1個(gè)數(shù)均來自集合Ak，這m﹣1個(gè)數(shù)的乘積恰好為集合Ak所對(duì)應(yīng)的Tm﹣1中的一項(xiàng)．

∴有關(guān)系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k

（3）解：由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，

猜想 Sn= ﹣1．下面證明：

（i）易知n=1時(shí)成立．

（ii）假設(shè)n=k時(shí)，Sn=Sk= ﹣1，

則n=k+1時(shí)，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1﹣1）]

（其中Ti′，i=1，2，…，k，為n=k時(shí)可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為Tk），

=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）

=Sk+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）Sk = +（2k+1﹣1）

= ﹣1，

即n=k+1時(shí)，Sk+1═ ﹣1也成立，

綜合（i）（ii）知對(duì)n∈N*，Sn= ﹣1成立．

∴Sn= ﹣1

【解析】（1）當(dāng)n=3時(shí)，A3={1，3，7}，由定義可得：T1 ， T2 ， T3的值．（2）當(dāng)n=k+1時(shí)，集合Ak+1有k+1個(gè)元素，比n=k時(shí)的集合Ak多了一個(gè)元素：ak+1=2k+1﹣1．對(duì)應(yīng)的 包含兩個(gè)部分：（i）若 中不含ak+1 ， 則 中的任何一項(xiàng)恰好為n=k時(shí)集合Ak的對(duì)應(yīng)的Tm中的一項(xiàng)．（ii）若 中含ak+1的任何一項(xiàng)，除了ak+1 ， 其余的m﹣1個(gè)數(shù)均來自集合Ak ， 這m﹣1個(gè)數(shù)的乘積恰好為集合Ak所對(duì)應(yīng)的Tm﹣1中的一項(xiàng)．即可證明．（3）由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，猜想 Sn= ﹣1．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．