Question

（2012•鹽城二模）因客流量臨時(shí)增大，某鞋店擬用一個(gè)高為50cm（即EF=50cm）的平面鏡自制一個(gè)豎直擺放的簡(jiǎn)易鞋鏡．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般顧客AB的眼睛B到地面的距離x（cm）在區(qū)間[140，180]內(nèi)．設(shè)支架FG高為h（0＜h＜90）cm，AG=100cm，顧客可視的鏡像范圍為CD（如圖所示），記CD的長(zhǎng)度為y（y=GD-GC）．
（1）當(dāng)h=40cm時(shí)，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和y的最大值；
（2）當(dāng)顧客的鞋A在鏡中的像A₁滿足不等關(guān)系GC＜GA₁≤GD（不計(jì)鞋長(zhǎng)）時(shí)，稱顧客可在鏡中看到自己的鞋，若一般顧客都能在鏡中看到自己的鞋，試求h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的相似，求出GC，GD的長(zhǎng)，從而可構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的相似，求出GC，GD的長(zhǎng)，由題意知GC＜A₁G=AG≤GD，即

100h

x-h

＜100≤

100(h+50)

x-h-50

對(duì)x∈[140，180]恒成立，從而

h＜ x 2 h≥ x 2 -50

對(duì)x∈[140，180]恒成立，由此可求h的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)镕G=40，AG=100，所以由

GC

FG

=

GC+AG

AB

，即

GC

40

=

GC+100

x

，解得GC=

4000

x-40

，
同理，由

GD

EG

=

GD+AG

AB

，即

GD

90

=

GD+100

x

，解得GD=

9000

x-90

所以y=GD-GC=1000×(

9

x-90

-

4

x-40

)=5000×

x

x2-130x+3600

，x∈[140，180]
因?yàn)?span id="xrfsgu2" class="MathJye">y′=5000×

3600-x2

(x2-130x+3600)2

＜0，所以y在[140，180]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=140cm時(shí)，y取得最大值為140cm
（2）由

GC

h

=

GC+100

x

，得GC=

100h

x-h

，
由

GD

h+50

=

GD+100

x

，得GD=

100(h+50)

x-h-50

，
所以由題意知GC＜A₁G=AG≤GD，即

100h

x-h

＜100≤

100(h+50)

x-h-50

對(duì)x∈[140，180]恒成立
從而

h＜ x 2 h≥ x 2 -50

對(duì)x∈[140，180]恒成立，∴40≤h＜70，
∴h的取值范圍為[40，70）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型．