Question

已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx滿足f(x-1)=f(x)+x-1，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的零點，并寫出f(x)＜0時，x取值的集合；
(3)設(shè)F(x)=4f(a^x)+3a^2x-1(a＞0，且a≠1)，當x∈[-1，1]時，F(xiàn)(x)有最大值14，試求a的值．

Answer 1

解：(1)∵f(x)=ax²+bx滿足f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)²+b(x-1)=ax²+bx+x-1，
即ax²-(2a-b)x+a-b=ax²+(b+1)x-1，
∴，解得，
∴。
(2)由f(x)=0得函數(shù)的零點為0，1，
又函數(shù)f(x)的圖象是開口向下的拋物線，
∴f(x)＜0時x＞1或x＜0，
∴x取值的集合為{x|x＞1或x＜0}．
(3)由F(x)=4f(a^x)+3a^2x-1(a＞0，且a≠1)，得F(x)=a^2x+2a^x-1，
①當a＞1時，令u=a^x，
∵x∈[-1，1]，
∴，
令g(u)=u²+2u-1=(u+1)²-2，，
∵對稱軸u=-1，
∴g(u)在上是增函數(shù)，
∴g_max(u)=g(a)=a²+2a-1=14，
∴a²+2a-15=0，
∴a=3，a=-5（舍）；
②當0＜a＜1時，令u=a^x，
∵x∈[-1，1]，
∴，
∴g(u)=u²+2u-1=(u+1)²-2，，
∵對稱軸u=-1，
∴g(u)在上是增函數(shù)，
∴，
∴(舍)，∴；
綜上，或a=3．