Question

【題目】設(shè)表示k個(gè)數(shù)字均為1的十進(jìn)制數(shù)(如=1，=111)，定義。

（1）對(duì)于任意正整數(shù)m、n，令，寫出一個(gè)關(guān)于f(m,n)的遞推關(guān)系式，并證明之；

（2）證明：對(duì)于任意正整數(shù)m、n,{m+n}!均可以被{m}!.{n}!整除。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1） 補(bǔ)充定義{O}!=1.

對(duì)于正整數(shù)m、n有

=.

（2） 對(duì)任意正整數(shù)n有.

當(dāng)m、n為大于或等于2的正整數(shù)時(shí)，對(duì)m+n進(jìn)行歸納證明f(m,n)為整數(shù).

當(dāng)m+n=4時(shí)，.

假設(shè)當(dāng)m+n=k(h≥4)時(shí)，f(m,n)為整數(shù).

則當(dāng)m+n=k+1時(shí)，由(1)知.

由數(shù)學(xué)歸納法原理，知對(duì)于任意的正整數(shù)m、n，有f(m,n)為整數(shù).

于是，{m+n}!均可被{m}!.{n}!整除.