(本小題滿分14分)如圖所示,在四棱錐中,平面,,
,,是的中點.
(1)證明:平面;
(2)若,,,求二面角的正切值.
解:(1)證明:∵平面,∴。
∵,是的中點
∴為△中邊上的高,
∴。
∵,
∴平面!6分
(2)方法1:延長DA、CB相交于點F,連接PF、DB
過點P作PE⊥BC,垂足為E,連接HE
由(1)知平面,則PH⊥BC
又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角……………9分
在△FDC中,∵PH=1,AD=1,∴PD=
∵平面,,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=,∴CD=4
∵,∴AB=2,∴BD=,
∴AB是△FCD的中位線,F(xiàn)D=CD
∴BD⊥CF
∴HE=
∵PH=1,∴……………14分
方法2:由(1)知平面,如圖建立空間直角坐標系.
∵PH=1,AD=1,∴PD=
∵平面,,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=,∴CD=4
∴
設平面BCD、平面PBC的法向量分別為
則,設
∵,令,則
,設二面角P-BC-D為,
則,故
解析
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在長方體中,,且.
(I)求證:對任意,總有;
(II)若,求二面角的余弦值;
(III)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在, 求出的值, 若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點,且AD=PD=2MA.
(1)求證:平面EFG⊥平面PDC;
(2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
( 14分)如圖,已知矩形ABCD中,AB=10,BC=6,將矩形沿對角線BD把△ABD折起,使A移到點,且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖所示,在邊長為12的正方形中,點在線段上,且,,作//,分別交,于點,,作//,分別交,于點,,將該正方形沿,折疊,使得與重合,構成如圖2所示的三棱柱.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求四棱錐的體積;
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