Question

如圖所示，點N在圓x²+y²=4上運動，DN⊥x軸，點M在DN的延長線上，且（λ＞0），
（1）求點M的軌跡方程，并求當λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）當λ=時，（1）所得曲線記為C，已知直線l：+y=1，P是l上的動點，射線OP（O為坐標原點）交曲線C于點R，又點Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|²，求點Q的軌跡方程。

Answer 1

解：（1）設(shè)，
由，
∴，
把代入圓的方程得，
化簡得，
當0＜λ＜1時，M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓；
（2）當時，（1）所得曲線C為，
設(shè)，
∵P在l上、R在橢圓上，
∴， ①
， ②
設(shè)，
由比例性質(zhì)得，
∴，
代入①得，，③
，
∴，
∴，
代入②得，，④
由③④聯(lián)立得，
又t≠0，
∴，原點除外，
化簡得點Q的軌跡方程為（原點除外）
（也可配方為）。