Question

【題目】一張坐標(biāo)紙上涂著圓E： 及點(diǎn)P（1，0），折疊此紙片，使P與圓周上某點(diǎn)P'重合，每次折疊都會(huì)留下折痕，設(shè)折痕與直線EP'交于點(diǎn)M ．
（1）求 的軌跡 的方程；
（2）直線 與C的兩個(gè)不同交點(diǎn)為A ， B ， 且l與以EP為直徑的圓相切，若 ，求△ABO的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為2 ，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2 ＞|EP|，
∴E的軌跡是以E、P為焦點(diǎn)的橢圓，且a= ，c=1，
∴b2=a2﹣c2=1， ∴M的軌跡C的方程為
（2）解：l與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，
則O到l即直線AB的距離： =1，即m2=k2+1，
由 ，消去y ， 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ， ，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，
又 =x1x2+y1y2= ，∴ ，∴ ，

= = ，
設(shè)μ=k4+k2 ， 則 ，∴ = ， ，
∵S△AOB關(guān)于μ在[ ，2]單調(diào)遞增，
∴ ，∴△AOB的面積的取值范圍是[ ， ]
【解析】本題主要考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用和平面向量的數(shù)量積的問題。第一小題主要考查圓錐曲線的軌跡方程的問題，根據(jù)已知條件中的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的特點(diǎn)，可以得到動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的和為定值，可以得出軌跡為橢圓，根據(jù)橢圓的特點(diǎn)確定a,b,c即可。第二小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用的問題，要求三角形的面積，就要先找到底和高，由已知條件可知，高是確定的1，所以求底也就是要求弦長(zhǎng)的問題，也就要聯(lián)立直線和橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積進(jìn)行求解弦長(zhǎng)AB即可。