如圖,GH是東西方向的公路北側(cè)的邊緣線,某公司準(zhǔn)備在GH上的一點(diǎn)B的正北方向的A處建一倉庫,設(shè)AB=y km,并在公路同側(cè)建造邊長為x km的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF(其中邊EF在GH上),現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉(zhuǎn)站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價(jià)為1萬元/km,兩條道路造價(jià)為3萬元/km,問:x取何值時(shí),該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)M最低?
分析:(1)根據(jù)題意得AB=y且AC=y-1,在Rt△BCF中,BC=2CF=2x.然后在△ABC中利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2•AB•BC•cosB的式子建立關(guān)于x、y的等式,解出用x表示y的式子,即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)由(1)求出的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題意得出總造價(jià)M=
12x2-3
x-1
-3+4x.然后換元:令x-1=t,化簡得到M=16t+
9
t
+25,利用基本不等式算出當(dāng)t=
3
4
時(shí),M的最小值為49.由此即可得出當(dāng)總造價(jià)M最低時(shí),相應(yīng)的x值.
解答:解:(1)∵AB=y,AB=AC+1,∴AC=y-1.
∵在Rt△BCF中,CF=x,∠ABC=60°,
∴∠CBF=30°,可得BC=2x.
由于2x+y-1>y,得x
1
2

在△ABC中,根據(jù)余弦定理AC2=AB2+BC2-2•AB•BC•cosB,
可得(y-1)2=y2+(2x)2-2(y-1)•2x•cos60°,
即(y-1)2=y2+4x2-2x(y-1),解得y=
4x2-1
2(x-1)

∵y>0且x
1
2
,∴x>1.
可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=
4x2-1
2(x-1)
,(x>1).
(2)由題意,可得總造價(jià)M=3[y+(y-1)]+4x=
12x2-3
x-1
-3+4x.
令x-1=t,則M=
12(t+1)2
t
-3+4(t+1)=16t+
9
t
+25≥2
16t•
9
t
+25
=49,
當(dāng)且僅當(dāng)16t=
9
t
,即t=
3
4
時(shí),M的最小值為49.
此時(shí)x=t+1=
7
4
,y=
4x2-1
2(x-1)
=
15
2

答:當(dāng)x的值為
7
4
時(shí),該公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和道路總造價(jià)M最低.
點(diǎn)評(píng):本題給出實(shí)際應(yīng)用問題,求能夠使公司建中轉(zhuǎn)站圍墻和兩條道路總造價(jià)最低的方案.著重考查了函數(shù)解析式的求法、運(yùn)用基本不等式求最值和余弦定理及其應(yīng)用等知識(shí),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖所示,GH是一條東西方向的公路,現(xiàn)準(zhǔn)備在點(diǎn)B的正北方向的點(diǎn)A處建一倉庫,設(shè)AB=y千米,并在公路旁邊建造邊長為x千米的正方形無頂中轉(zhuǎn)站CDEF(其中邊EF在公路GH上),現(xiàn)向公路和中轉(zhuǎn)站分別修兩條簡易公路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)如果中轉(zhuǎn)站四周圍墻造價(jià)為l0萬元/千米,公路造價(jià)為30萬元/千米,問x取何值時(shí),建中轉(zhuǎn)站和道路總造價(jià)M最低.

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