【題目】如圖所示,在四棱錐中,,平面PAB,,E為線段PB的中點(diǎn)
(1)證明:平面PDC;
(2)求直線DE與平面PDC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)利用平行四邊形,得到線線平行,從而證明線面平行。
(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用法向量求解。
證明:(1)如圖所示,取PC的中點(diǎn)F,連接DF,EF,因?yàn)?/span>E為線段PB的中點(diǎn),
∴,且,
∵,∴
∴四邊形EFDA為平行四邊形
∴,又平面PDC,平面PDC,
∴平面PDC
(2)(方法一)∵,平面PAB,平面PAB,
由題意知為等邊三角形,
以A為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建系
,,,,,,
,,
設(shè)平面PDC的法向量為,則
令,則
設(shè)直線DE與平面PDC所成角為,
即直線DE與平面PDC所成角的正弦值為
(方法二)∵為等邊三角形,E為線段PB的中點(diǎn),∴
∵平面PAB,∴,,平面PBC,
∵,平面PBC,
平面PDC,平面平面PBC
過(guò)E點(diǎn)作于H,連接DH,則平面PDC,
∴即為直線DE與平面PDC所成角,易得,,
在中,
∴直線DE與平面PDC所成角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,離心率為,是橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,,圓:.
(1)求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作與圓相切于點(diǎn),使得點(diǎn),點(diǎn)在的兩側(cè).求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,,是的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一汽車廠生產(chǎn)三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如表(單位:輛):
轎車 | 轎車 | 轎車 | |
舒適型 | 100 | 150 | |
標(biāo)準(zhǔn)型 | 300 | 450 | 600 |
按分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有類轎車10輛.
(1)求的值;
(2)用隨機(jī)抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2,把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若,且對(duì)于函數(shù)的圖象上兩點(diǎn), ,存在,使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圓錐(其中為頂點(diǎn),為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是,則圓錐與它的外接球(即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上)的體積比為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在單位正方體中,點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),給出以下三個(gè)命題:
①三棱錐的體積為定值; ②二面角的大小為定值;
③異面直線與直線所成的角為定值;
其中真命題有( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】時(shí)值金秋十月,正是秋高氣爽,陽(yáng)光明媚的美好時(shí)刻。復(fù)興中學(xué)一年一度的校運(yùn)會(huì)正在密鑼緊鼓地籌備中,同學(xué)們也在熱切地期盼著,都想為校運(yùn)會(huì)出一份力。小智同學(xué)則通過(guò)對(duì)學(xué)校有關(guān)部門的走訪,隨機(jī)地統(tǒng)計(jì)了過(guò)去許多年中的五個(gè)年份的校運(yùn)會(huì)“參與”人數(shù)及相關(guān)數(shù)據(jù),并進(jìn)行分析,希望能為運(yùn)動(dòng)會(huì)組織者科學(xué)地安排提供參考。
附:①過(guò)去許多年來(lái)學(xué)校的學(xué)生數(shù)基本上穩(wěn)定在3500人左右;②“參與”人數(shù)是指運(yùn)動(dòng)員和志愿者,其余同學(xué)均為“啦啦隊(duì)員”,不計(jì)入其中;③用數(shù)字1、2、3、4、5表示小智同學(xué)統(tǒng)計(jì)的五個(gè)年份的年份數(shù),今年的年份數(shù)是6;
統(tǒng)計(jì)表(一)
年份數(shù)x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
“參與”人數(shù)(y千人) | 1.9 | 2.3 | 2.0 | 2.5 | 2.8 |
統(tǒng)計(jì)表(二)
高一(3)(4)班參加羽毛球比賽的情況:
男生 | 女生 | 小計(jì) | |
參加(人數(shù)) | 26 | b | 50 |
不參加(人數(shù)) | c | 20 | |
小計(jì) | 44 | 100 |
(1)請(qǐng)你與小智同學(xué)一起根據(jù)統(tǒng)計(jì)表(一)所給的數(shù)據(jù),求出“參與”人數(shù)y關(guān)于年份數(shù)x的線性回歸方程,并預(yù)估今年的校運(yùn)會(huì)的“參與”人數(shù);
(2)學(xué)校命名“參與”人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分之八十及以上的年份為“體育活躍年”.如果該校每屆校運(yùn)會(huì)的“參與”人數(shù)是互不影響的,且假定小智同學(xué)對(duì)今年校運(yùn)會(huì)的“參與”人數(shù)的預(yù)估是正確的,并以這6個(gè)年份中的“體育活躍年”所占的比例作為任意一年是“體育活躍年”的概率,F(xiàn)從過(guò)去許多年中隨機(jī)抽取9年來(lái)研究,記這9年中“體活躍年”的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量,試求隨機(jī)變量的分布列、期望和方差;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)表(二),請(qǐng)問(wèn):你能否有超過(guò)60%的把握認(rèn)為“羽毛球運(yùn)動(dòng)”與“性別”有關(guān)?
參考公式和數(shù)據(jù)一:,,,
參考公式二:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD中,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,E為B的中點(diǎn),F(xiàn)為的中點(diǎn),則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是( )
A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)
C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)
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