Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+m）．
（1）若x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，證明f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)的定義求出m值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最小值，判斷最小值與零的關(guān)系即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ln（x+m），
f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+m}$，
∵x=0是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f'（0）=0，得m=1；
當(dāng)x在（-1，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x在（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，
f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+2}$，
∵f'（-1）＜0，f'（0）＞0，
故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根x₀，且x₀∈（-1，0）．
當(dāng)x∈（-2，x₀）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
從而當(dāng)x=x₀時(shí)，f（x）取得最小值f（x₀），
f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ln（x₀+2）
=$\frac{（{x}_{0}+1）^{2}}{{x}_{0}+2}$＞0，
∴f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng) 考查了極值點(diǎn)的定義和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．難點(diǎn)是對(duì)（2）中極值點(diǎn)的判斷．