Question

【題目】數(shù)列，定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，（ ），設(shè)

（1）若，求證： 是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（2）若，又?jǐn)?shù)列滿足： ：

①求數(shù)列的前和；

②求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列中其他兩項(xiàng)之積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）由，得故，進(jìn)而，可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）①由（1）得，利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.

②證明：由（1）得，對(duì)于給定的，若存在， ，且， ，

得出取，則，使得，得以證明.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>.

故，即，所以

故數(shù)列為等比數(shù)列，且，所以

（2）

，故數(shù)列是以為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列，

易求出

① ，

以上兩式相減得：

所以

②證明：由且，知，

對(duì)于給定的，若存在， ，且， ，

只需，只需

取，則

所以對(duì)于數(shù)列中的任意一項(xiàng)，

都存在與，使得，

即數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積.