Question

已知不等式x²-3x+t＜0的解集為{x|1＜x＜m，x∈R}
（1）求t，m的值；
（2）若函數(shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，求關(guān)于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）由不等式與相應(yīng)方程的關(guān)系得：1，m是方程x²-3x+t=0的兩個根，再依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得t，m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=-x²+ax+4在區(qū)間（-∞，1]上遞增，其圖象的對稱軸應(yīng)在直線x=1的右側(cè)，從而得到a的范圍，再將原不等式利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可．

解答：解：（1）∵不等式x²-3x+t＜0的解集為{x|1＜x＜m，x∈R}
∴

1+m=3 m=t

得

m=2 t=2

（2）∵f（x）=-(x-

a

2

)2+4+

a2

4

在（-∞，1]上遞增，
∴

a

2

≥1，a≥2
又lo

g	(-mx2+3x+2-t) a

=lo

g	(-2x2+3x) a

＜0，
由a≥2，可知0＜-2x²+3x＜1
由2x²-3x＜0，得0＜x＜

3

2

由2x²-3x+1＞0得x＜

1

2

或x＞1
故原不等式的解集為{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}

點評：本小題主要考查一元二次不等式與一元二次方程、對數(shù)不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．