Question

已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)＝有三個實(shí)根x₁，x₂，x₃．

(1)類比一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫出此方程根與系數(shù)的關(guān)系；

(2)若a，b，c均大于零，試證明：x₁，x₂，x₃都大于零；

(3)若，f(x)在處取得極值且，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，得，比較兩邊系數(shù)，得． 　　(2)由c＞0，得x1，x2，x3三數(shù)中或全為正數(shù)或一正二負(fù)． 　　若為一正二負(fù)，不妨設(shè)由，得，則． 　　又＝，這與b＞0矛盾，所以x1，x2，x3全為正數(shù)． 　　(3)令，要f(x)＝0有三個不等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)f(x)有一個極大值和一個極小值，且極大值大于0，極小值小于0． 　　由已知，得有兩個不等的實(shí)根， 　　，，由(1)(3)，得b＞－3． 　　又，∴b＝－1，將b＝－1代入(1)(3)，得a＝0． 　　，則，且f(x)在處取得極大值，在處取得極小值， 　　故f(x)＝0要有三個不等的實(shí)數(shù)根，則必須得．

提示：

分析：(1)聯(lián)想二次方程根與系數(shù)關(guān)系，寫出三次方程的根與系數(shù)．(2)利用(1)的結(jié)論進(jìn)行證明；(3)三次函數(shù)的問題往往都轉(zhuǎn)化為二次方程來研究． 　　說明：本題考查學(xué)生類比探究函數(shù)與方程與圖形的轉(zhuǎn)化的能力．