Question

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）若曲線過點(diǎn)的切線有兩條，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可證得；（2）利用假設(shè)切點(diǎn)的方式寫出切線方程，原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)解；此時(shí)可采用零點(diǎn)存在定理依次判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構(gòu)造新的函數(shù)，然后討論函數(shù)圖像，得到范圍.

（1）證明：時(shí)，

在上遞減，在上遞增

（2）當(dāng)時(shí)，，，明顯不滿足要求；

當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（顯然），則有

，整理得

由題意，要求方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

令

①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增

而，，

，

在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，在區(qū)間上無零點(diǎn)，

所以此時(shí)不滿足題要求.

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增

不滿足在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

③當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，

在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，所以此時(shí)不滿足題要求.

④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)不滿足題要求.

當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)

設(shè)零點(diǎn)為，又這時(shí)顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減

，此時(shí)滿足題目要求.

綜上所述，的取值范圍是

（2）解法二：設(shè)切點(diǎn)為

由解法一的關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩解

顯然不是方程的解

故原問題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)有兩解

設(shè)，且

則，且

令，，則

又，；，

，

故，；，

從而，遞增，，遞減

令，

由于時(shí)，時(shí)

故，；，，

而時(shí)，，時(shí)，

故在區(qū)間內(nèi)有兩解

解得：