Question

（本小題滿分12分）在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)見解析 ； (Ⅱ) 。

本試題主要是考查了空間立體幾何中線線垂直和二面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)榫�線垂直的證明關(guān)鍵是找到線面垂直，利用線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直。
（2）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，表示出平面的法向量，利用法向量的夾角來(lái)表示二面角的平面角的大小。
解： (Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面為正方形，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222314335523.png" style="vertical-align:middle;" />,面…………………………2分
又面
…………………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222314912585.png" style="vertical-align:middle;" />兩兩垂直，分別以它們所在直線
為軸、軸、軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，
則…………………4分
設(shè)，則
要使，只要
所以，即………6分
由此可知時(shí)，存在點(diǎn)使得
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得
由此可知…………………………8分設(shè)面的法向量
則即解得…………………………10分
取平面的法向量
則的大小與二面角的大小相等所以
因此二面角的余弦值為…………………………12分