【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ (a∈R)是定義域為R的奇函數(shù),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若存在x∈(0,+∞),使不等式f(x2+x)+f(2﹣tx)<0成立,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=e2x+ ﹣2mf(x)在(m,+∞)上不存在最值,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:因為 在定義域R上是奇函數(shù),

所以

恒成立,

所以a=﹣1,此時


(2)解:因為f(x2+x)+f(2﹣tx)<0

所以f(x2+x)<﹣f(2﹣tx)

又因為 在定義域R上是奇函數(shù),

所以f(x2+x)<f(tx﹣2)

又因為 恒成立

所以 在定義域R上是單調增函數(shù)

所以存在x∈(0,+∞),使不等式f(x2+x)+f(2﹣tx)<0成立

等價于存在x∈(0,+∞),x2+x<tx﹣2成立,

所以存在x∈(0,+∞),使(t﹣1)x>x2+2,即

又因為 ,當且僅當 時取等號

所以 ,即 ,

注:也可令g(x)=x2﹣(t﹣1)x+2

①對稱軸 時,即t≤1g(x)=x2﹣(t﹣1)x+2在x∈(0,+∞)是單調增函數(shù)的.

由g(0)=2>0不符合題意

②對稱軸 時,即t>1

此時只需△=(t﹣1)2﹣8≥0得 或者

所以

綜上所述:實數(shù)t的取值范圍為


(3)解:函數(shù)

在x∈(m,+∞)不存在最值等價于函數(shù)y=t2﹣2mt+2,

上不存在最值,

由函數(shù)y=t2﹣2mt+2,的對稱軸為t0=m得: 成立,

所以 在m∈R上是單調增函數(shù).

又因為g(0)=0,

所以實數(shù)m的取值范圍為m>0


【解析】(1)根據(jù)題意,由奇函數(shù)的性質可得以 ,解可得a的值;(2)由函數(shù)為奇函數(shù)可得f(x2+x)<f(tx﹣2),對f(x)求導分析可得f(x)為增函數(shù),進而分析可以將不等式f(x2+x)+f(2﹣tx)<0轉化為存在x∈(0,+∞),x2+x<tx﹣2成立,由基本不等式的性質分析可得答案.(3)根據(jù)題意,計算可得y=e2x+ ﹣2mf(x)的解析式,用換元法分析可得y=t2﹣2mt+2,在 上不存在最值,由二次函數(shù)的性質分析可得答案.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關知識,掌握利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(。┲担

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