Question

如圖，在雙曲線-=1的上支上有三點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,6),C(x₃,y₃),它們與點(diǎn)F(0,5)的距離成等差數(shù)列.

(1)求y₁+y₃的值；

(2)證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求此點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

(1)解：c==5,故F為雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)準(zhǔn)線為l,離心率為e，由題設(shè)有

    2|FB|=|FA|+|FC|.                                               ①

    分別過A、B、C作x軸的垂線AA₂、BB₂、CC₂,交l于A₁、B₁、C₁,則由雙曲線第二定義有|FB|=e|BB₁|,|FA|=e|AA₁|,|FC|=e|CC₁|,代入①式，得2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|,

    即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|.

    于是兩邊均加上準(zhǔn)線與x軸距離的2倍，有2|BB₂|=|AA₂|+|CC₂|,

    此即2×6=y₁+y₃,可見y₁+y₃=12.

(2)證明：AC的中垂線方程為

    y-=-(x-),

    即y-6=-x+.                           ②

    由于A、C均在雙曲線上，

    所以有-=1,-=1.

    相減得=.于是有=(y₁+y₃)=·12=13,

    故②變?yōu)閥=-x+,易知此直線過定點(diǎn)D(0,).

講評：利用第二定義得焦半徑，可使問題容易解決.中垂線過弦AC的中點(diǎn)，中點(diǎn)問題往往把A、C的坐標(biāo)代入方程，兩式相減、變形，即可解決問題.