Question

已知偶函數(shù)滿足：當時，，當時，.

(1)求當時，的表達式；

(2)試討論：當實數(shù)滿足什么條件時，函數(shù)有4個零點，且這4個零點從小到大依次構(gòu)成等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①時，；②時，；③時，.

【解析】

試題分析：本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式、函數(shù)零點問題以及等差數(shù)列的定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力.第一問，先把轉(zhuǎn)化成，利用已知時的解析式，利用偶函數(shù)轉(zhuǎn)化解析式；第二問，把有4個零點，先轉(zhuǎn)化為與有4個交點且均勻分布，所以利用等差中項，偶函數(shù)等基礎(chǔ)知識列出表達式，分情況進行討論分析.

試題解析：（1）設(shè)則，，

又偶函數(shù)，

所以，.

（2）零點，與交點有4個且均勻分布，

（Ⅰ）時，    得，

所以時， ， 

（Ⅱ）且時 ，， ，

所以 時，，

（Ⅲ）時時，符合題意，

（Ⅳ）時，，，，，

此時，，所以或（舍）

且時，時存在.

綜上，①時，；

②時，；

③時，符合題意.

考點：1.求函數(shù)解析式；2.函數(shù)零點問題；3.圖像交點問題.