【題目】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中,共含有個(gè)1,個(gè)2,,個(gè)n.證明:并確定使等號(hào)成立的條件.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

對(duì)正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)是一位數(shù),即時(shí),所證式顯然成立,

這是因?yàn),此時(shí)的十進(jìn)制表達(dá)式中只有一位數(shù)字,

,其余,所以,左邊==右邊.

假設(shè)當(dāng)正整數(shù)不超過(guò)k位,即時(shí),結(jié)論皆成立.

現(xiàn)考慮位數(shù),即時(shí)的情形.

設(shè)的首位數(shù)字為r.則. ①

,則在數(shù)的各位數(shù)字中,,其余.

顯然,.

,記的各位數(shù)字中含有個(gè)1,個(gè)2,,個(gè)r,…,個(gè)9.

的各位數(shù)字中,含有個(gè)r、個(gè)j.

注意到,正整數(shù)不超過(guò)k位.

由歸納法假設(shè),對(duì)

則當(dāng)位數(shù)時(shí),結(jié)論也成立.

故由數(shù)學(xué)歸納法,知對(duì)一切正整數(shù),結(jié)論皆成立.

欲使等號(hào)成立,由證明過(guò)程,知要么為一位數(shù);要么在的位數(shù)大于或等于2時(shí),由式②,必須,此時(shí),由式①得

可表示為的形式.

上述條件也是充分的,當(dāng)能夠表成以上形式時(shí),有,其余.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)求證:平面平面;

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【題目】某地海軍航空實(shí)驗(yàn)班面向全省遴選學(xué)員,有名初中畢業(yè)生踴躍報(bào)名投身國(guó)防,經(jīng)過(guò)文化考試、體格測(cè)試、政治考核、心理選拔等過(guò)程篩選,最終招收名學(xué)員。培養(yǎng)學(xué)校在關(guān)注學(xué)員的文化素養(yǎng)同時(shí)注重學(xué)員的身體素質(zhì),要求每月至少參加一次野營(yíng)拉練活動(dòng)(下面簡(jiǎn)稱“活動(dòng)”)并記錄成績(jī).月某次活動(dòng)中海航班學(xué)員成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示:

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