如圖，在長方體中,，點是棱上的一個動點.

(1)證明:；
(2)當(dāng)為的中點時，求點到面的距離；
(3)線段的長為何值時，二面角的大小為.

（1）詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：解決立體幾何中的垂直、距離及空間角，有幾何法與空間向量法，其中幾何法，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力及扎實的立體幾何理論知識；向量法，則要求學(xué)生能根據(jù)題意準(zhǔn)確建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有效點、有效向量的坐標(biāo)必須準(zhǔn)確無誤，然后將立體幾何中的問題的求解轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算問題，這也需要學(xué)生具備較好的代數(shù)運(yùn)算能力.
幾何法：（1）要證，只須證明平面，然后根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行尋找條件即可；（2）運(yùn)用的關(guān)系進(jìn)行計算即可求出點到面的距離；（3）先作于，連接，然后充分利用長方體的性質(zhì)證明為二面角的平面角，最后根據(jù)所給的棱長與角度進(jìn)行計算即可得到線段的長.
向量法： (1)建立空間坐標(biāo)，分別求出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積等于零即可；(2)當(dāng)為的中點時，求點到平面的距離，只需找平面的一條過點的斜線段在平面的法向量上的投影即可；(3)設(shè)，因為平面的一個法向量為，只需求出平面的法向量，然后利用二面角為，根據(jù)夾角公式，求出即可.
試題解析：解法一：(1)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面，                      4分
(2)等體積法：由已知條件可得，，，所以為等腰三角形
=， ，設(shè)點到平面的距離，根據(jù)可得，，即，解得         8分
(3)過點作于，連接

因為平面，所以，又，∩，所以平面
故，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是線段AD的中點,

求證:GM∥平面ABFE.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.

(1)求證：BF∥平面ACE；
(2)求證：BF⊥BD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，∥ＡＥ，，,分別為的中點．

（1）求異面直線與所成角的大�。�
（2）求直線和平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在正方體中，分別的中點.

（1）求證：；
（2）已知是靠近的的四等分點，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點，．

（1）求證：；
（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐，面,∥,,，,,為上一點,是平面與的交點.

（1）求證：∥；
（2）求證：面；
（3）求與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：

（1）聯(lián)結(jié)，求異面直線與所成角的大��；
（2）聯(lián)結(jié)、，求三棱錐C1－BCA1的體積．

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