Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC，，H為PC的中點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，.

（1）求PM與平面AHB成角的正弦值；

（2）在線段PB上是否存在點(diǎn)N，使得平面ABC.若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，N靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)

【解析】

（1）在平面ABC中，過(guò)點(diǎn)A作，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面的法向量，再根據(jù)公式求解；

（2）利用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用，求點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）解：在平面ABC中，過(guò)點(diǎn)A作，

因?yàn)?/span>平面PAC，所以平面PAC，

由底面ABC，得PA，AC，AD兩兩垂直，

所以以A為原點(diǎn)，AD，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)平面AHB的法向量為，

因?yàn)?/span>，.

由，得，

令，得.

設(shè)PM與平面AHB成角，因?yàn)?/span>，

所以

即.

（2）解：因?yàn)?/span>，設(shè)，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)?/span>平面ABC，平面ABC的法向量，

所以，解得.

即點(diǎn)N是靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn).