Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}是以d（d≠0）為公差的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$（n∈N*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，即（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得：d=2，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡b_n，利用“裂項(xiàng)消項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），整理得：d²-2d=0，
∵d=2，d=0（舍去），
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力．