分析:解法一:(Ⅰ)直接利用用數學歸納法證明的證明方法證明即可;
(Ⅱ)對于n≥6,已知
(1-)n<,利用指數函數的性質以及放縮法證
(1-)n<()m,m=1,2…,n;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的結論,以及驗證n=1,2,3,4,5時等式是否成立,即可求出滿足等式3
n+4
m+…+(n+2)
m=(n+3)
n的所有正整數n.
解法二::(Ⅰ)證:當x=0或m=1時,原不等式中等號顯然成立,下用數學歸納法證明.
(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)利用反證法證明當n≥6時,不存在滿足該等式的正整數n.驗證同解法一.
解答:解法1:(Ⅰ)證:用數學歸納法證明:
當x=0時,(1+x)
m≥1+mx;即1≥1成立,
x≠0時,證:用數學歸納法證明:
(。┊攎=1時,原不等式成立;
當m=2時,左邊=1+2x+x
2,右邊=1+2x,
因為x
2≥0,所以左邊≥右邊,原不等式成立;
(ⅱ)假設當m=k時,不等式成立,即(1+x)
k≥1+kx,
則當m=k+1時,∵x>-1,
∴1+x>0,于是在不等式(1+x)
k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
(1+x)
k•(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx
2≥1+(k+1)x,
所以(1+x)
k+1≥1+(k+1)x.即當m=k+1時,不等式也成立.
綜合(。áⅲ┲,對一切正整數m,不等式都成立.
(Ⅱ)證:當n≥6,m≤n時,由(Ⅰ)得
(1-)m≥1->0,
于是
(1-)n≤(1-)nm=
[(1-)n]m<()m,m=1,2,n.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,當n≥6時,
(1-)n+(1-)n+…+(1-)n<+()2+…+()n=1-<1,
∴
()n+()n+…+()n<1.
即3
n+4
n+…+(n+2)
n<(n+3)
n.即當n≥6時,不存在滿足該等式的正整數n.
故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形:
當n=1時,3≠4,等式不成立;
當n=2時,3
2+4
2=5
2,等式成立;
當n=3時,3
3+4
3+5
3=6
3,等式成立;
當n=4時,3
4+4
4+5
4+6
4為偶數,而7
4為奇數,故3
4+4
4+5
4+6
4≠7
4,等式不成立;
當n=5時,同n=4的情形可分析出,等式不成立.
綜上,所求的n只有n=2,3.
解法2:(Ⅰ)證:當x=0或m=1時,原不等式中等號顯然成立,下用數學歸納法證明:
當x>-1,且x≠0時,m≥2,(1+x)
m>1+mx. ①
(。┊攎=2時,左邊=1+2x+x
2,右邊=1+2x,因為x≠0,所以x
2>0,即左邊>右邊,不等式①成立;
(ⅱ)假設當m=k(k≥2)時,不等式①成立,即(1+x)
k>1+kx,則當m=k+1時,
因為x>-1,所以1+x>0.又因為x≠0,k≥2,所以kx
2>0.
于是在不等式(1+x)
k>1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)
k•(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx
2>1+(k+1)x,
所以(1+x)
k+1>1+(k+1)x.即當m=k+1時,不等式①也成立.
綜上所述,所證不等式成立.
(Ⅱ)證:當n≥6,m≤n時,∵
(1-)n<,
∴
[(1-)m]n<()m,
而由(Ⅰ),
(1-)m≥1->0,
∴
(1-)n≤[(1-)m]n<()m.
(Ⅲ)解:假設存在正整數n
0≥6使等式
3n0+4n0+…+(n0+2)n0=(n0+3)n0成立,
即有
()n0+()n0+…+()n0=1. ②
又由(Ⅱ)可得
()n0+()n0+…+()n0=
(1-)n0+(1-)n0+…+(1-)n0<()n0+()n0-1+…+=1-<1,與②式矛盾.
故當n≥6時,不存在滿足該等式的正整數n.
下同解法1.