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已知m,n為正整數.
(Ⅰ)用數學歸納法證明:當x>-1時,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)對于n≥6,已知(1-
1
n+3
)n
1
2
,求證(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出滿足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數n.
分析:解法一:(Ⅰ)直接利用用數學歸納法證明的證明方法證明即可;
(Ⅱ)對于n≥6,已知(1-
1
n+3
)n
1
2
,利用指數函數的性質以及放縮法證(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)利用(Ⅱ)的結論,以及驗證n=1,2,3,4,5時等式是否成立,即可求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數n.
解法二::(Ⅰ)證:當x=0或m=1時,原不等式中等號顯然成立,下用數學歸納法證明.
(Ⅱ)同解法一;
(Ⅲ)利用反證法證明當n≥6時,不存在滿足該等式的正整數n.驗證同解法一.
解答:解法1:(Ⅰ)證:用數學歸納法證明:
當x=0時,(1+x)m≥1+mx;即1≥1成立,
x≠0時,證:用數學歸納法證明:
(。┊攎=1時,原不等式成立;
當m=2時,左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,
因為x2≥0,所以左邊≥右邊,原不等式成立;
(ⅱ)假設當m=k時,不等式成立,即(1+x)k≥1+kx,
則當m=k+1時,∵x>-1,
∴1+x>0,于是在不等式(1+x)k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
(1+x)k•(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x.即當m=k+1時,不等式也成立.
綜合(。áⅲ┲,對一切正整數m,不等式都成立.
(Ⅱ)證:當n≥6,m≤n時,由(Ⅰ)得(1-
1
n+3
)
m
≥1-
m
n+3
>0
,
于是(1-
m
n+3
)n≤(1-
1
n+3
)nm
=[(1-
1
n+3
)
n
]m<(
1
2
)m
,m=1,2,n.
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,當n≥6時,(1-
1
n+3
)n+(1-
2
n+3
)n+…+(1-
n
n+3
)n
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n=1-
1
2n
<1
,
(
n+2
n+3
)n+(
n+1
n+3
)n+…+(
3
n+3
)n<1

即3n+4n+…+(n+2)n<(n+3)n.即當n≥6時,不存在滿足該等式的正整數n.
故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形:
當n=1時,3≠4,等式不成立;
當n=2時,32+42=52,等式成立;
當n=3時,33+43+53=63,等式成立;
當n=4時,34+44+54+64為偶數,而74為奇數,故34+44+54+64≠74,等式不成立;
當n=5時,同n=4的情形可分析出,等式不成立.
綜上,所求的n只有n=2,3.
解法2:(Ⅰ)證:當x=0或m=1時,原不等式中等號顯然成立,下用數學歸納法證明:
當x>-1,且x≠0時,m≥2,(1+x)m>1+mx. ①
(。┊攎=2時,左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因為x≠0,所以x2>0,即左邊>右邊,不等式①成立;
(ⅱ)假設當m=k(k≥2)時,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx,則當m=k+1時,
因為x>-1,所以1+x>0.又因為x≠0,k≥2,所以kx2>0.
于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)k•(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以(1+x)k+1>1+(k+1)x.即當m=k+1時,不等式①也成立.
綜上所述,所證不等式成立.
(Ⅱ)證:當n≥6,m≤n時,∵(1-
1
n+3
)n
1
2

[(1-
1
n+3
)
m
]n<(
1
2
)m
,
而由(Ⅰ),(1-
1
n+3
)m≥1-
m
n+3
>0
,
(1-
m
n+3
)n≤[(1-
1
n+3
)
m
]n<(
1
2
)m

(Ⅲ)解:假設存在正整數n0≥6使等式3n0+4n0+…+(n0+2)n0=(n0+3)n0成立,
即有(
3
n0+3
)n0+(
4
n0+3
)n0+…+(
n0+2
n0+3
)n0=1
. ②
又由(Ⅱ)可得(
3
n0+3
)n0+(
4
n0+3
)n0+…+(
n0+2
n0+3
)n0

=(1-
n0
n0+3
)n0+(1-
n0-1
n0+3
)n0+…+(1-
1
n0+3
)n0
<(
1
2
)n0+(
1
2
)n0-1+…+
1
2
=1-
1
2n0
<1
,與②式矛盾.
故當n≥6時,不存在滿足該等式的正整數n.
下同解法1.
點評:本小題主要考查數學歸納法、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能,考查分析問題能力和推理能力.注意放縮法的應用.
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