如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為棱CC1的中點(diǎn).
(1)求AD1與DB所成角的大;
(2)求證DB⊥平面AEA1
分析:(1)以
DA
為x軸,
DC
為y軸,
DD1
為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出AD1與DB的方向向量,代入向量夾角公式,即可得到AD1與DB所成角的大;
(2)分別求出向量
DB
AE
,
AA1
的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)
DB
AE
=0
DB
AA1
=0
,得到DB⊥AE,DB⊥AA1,結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到答案.
解答:解:以
DA
為x軸,
DC
為y軸,
DD1
為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),E(0,2,1)…(2分)
(1)
D1A
=(2,0,-2)
,
DB
=(2,2,0)
,|
D1A
|=2
2
,|
DB
|=2
2
…(4分)
cos<
D1A
,
DB
>=
D1A
DB
|
D1A
||
DB
|
=
2×2+0×2+(-2)×0
2
2
×2
2
=
1
2
…(6分)
∴AD1與DB所成的角為600…(7分)
(2)
DB
=(2,2,0)
,
AE
=(-2,2,1)
,
AA1
=(0,0,2)
,…(9分)
DB
AE
=2×(-2)+2×2+0×1=0
,
DB
AA1
=2×0+2×0+0×2=0
,…(11分)
∴DB⊥AE,DB⊥AA1
即DB⊥平面AEA1內(nèi)的兩條相交直線,∴DB⊥平面AEA1…(12分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,其中解答的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,將異面直線夾角問題,線線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,它的各個頂點(diǎn)都在球O的球面上,問球O的表面積.
(1) 如果球O和這個正方體的六個面都相切,則有S=
 

(2)如果球O和這個正方體的各條棱都相切,則有S=
 

精英家教網(wǎng)

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量.

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動點(diǎn),且EH⊥FG.
(1)求GH長的取值范圍;
(2)當(dāng)GH取得最小值時,求證:EH與FG共面;并求出此時EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn),且BF=DE=C1G=C1H=
13
AB

(1)證明:直線EH與FG共面;
(2)若正方體的棱長為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

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