Question

設函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），其中常數(shù)m為整數(shù)。
（1）當m為何值時，f（x）≥0；
（2）定理：若函數(shù)g（x）在[a，b]上連續(xù)，且g（a）與g（b）異號，則至少存在一點x₀∈（a，b），使g（x₀）=0，試用上述定理證明：當整數(shù)m＞1時，方程f（x）=0，在[e^-m-m，e^2m-m]內有兩個實根。

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），x∈（-m，+∞）連續(xù)，且
，令，得
當x∈（-m，1-m）時，f '（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，f（x）>f（1-m）
當x∈（1-m，+∞）時，f '（x）>0，f（x）為增函數(shù)，f（x）>f（1-m）
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f（1-m）=1-m為極小值，而且對x∈（-m，+∞）都有f（x）≥f（1-m）=1-m
故當整數(shù)m≤1時，f（x）≥1-m≥0。
（2）由（1）知，當整數(shù)m>1時，f（1-m）=1-m＜0，
函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在上為連續(xù)減函數(shù)

當整數(shù)m＞1時，與異號
由所給定理知，存在唯一的，使
而當整數(shù)m>1時，

類似地，當整數(shù)m>1時，函數(shù)f（x）=x-ln（x+m），在上為連續(xù)增函數(shù)
且f（1-m）與異號，
由所給定理知，存在唯一的，使
故當m>1時，方程f（x）=0在內有兩個實根。