設(shè)函數(shù)f(x)=-x3x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.

(1)當(dāng)m=1時(shí),求曲線yf(x)在(1,f(1))點(diǎn)處的切線的方程;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;

(3)已知函數(shù)g(x)=f(x)+有三個(gè)互不相同的零點(diǎn),求m的取值范圍.

解析 (1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=-x3x2,f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.

所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為1.

切線方程為3x-3y-1=0.

(2)f′(x)=-x2+2xm2-1,令f′(x)=0,得到x=1-mx=1+m.

因?yàn)?i>m>0,所以1+m>1-m.

當(dāng)x變化時(shí),f(x),f′(x)的變化情況如下表:

x

(-∞,1-m)

1-m

(1-m,1+m)

1+m

(1+m,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

極小值

極大值

f′(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)內(nèi)減函數(shù),在(1-m,1+m)內(nèi)增函數(shù).

函數(shù)f(x)在x=1+m處取得極大值f(1+m),且f(1+m)=m3m2.

函數(shù)f(x)在x=1-m處取得極小值f(1-m),

f(1-m)=-m3m2.

(3)由(2)知,

函數(shù)g(x)在x=1+m處取得極大值g(1+m)=f(1+m)+,

g(1+m)=m3m2.

函數(shù)g(x)在x=1-m處取得極小值g(1-m)=f(1-m)+

g(1-m)=-m3m2.

根據(jù)三次函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)g(x)=f(x)+有三個(gè)互不相同的零點(diǎn),只需要

所以m的取值范圍是.

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①寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;

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[  ]

A.x=

B.x=

C.x=

D.x=

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