Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且為△PAD中AD邊上的高．
（Ⅰ）求證：AB∥平面PDC；
（Ⅱ）求證：PH⊥BC；
（Ⅲ）線段PB上是否存在點(diǎn)E，使EF⊥平面PAB？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知AB∥CD，利用線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用AB⊥平面PAD，得到平面PAD⊥平面ABCD．再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（Ⅲ）線段PB上存在點(diǎn)E，使EF⊥平面PAB．分別取PA、PB的中點(diǎn)G、E，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理即可得到EF∥DG，l利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明GD⊥平面PAB．從而得到EF⊥平面PAB．
解答：（Ⅰ）證明：∵AB∥CD，且AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PDC．
（Ⅱ）證明：∵AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
∵PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，
∴PH⊥BC．
（Ⅲ）解：線段PB上存在點(diǎn)E，使EF⊥平面PAB．
證明如下：
如圖，分別取PA、PB的中點(diǎn)G、E，
則，
由，
∴．
∴EFGD為平行四邊形，故EF∥GD，
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．
∵G為PA的中點(diǎn)，且PD=AD．
∴GD⊥PA．
∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．
∴EF⊥平面PAB．
點(diǎn)評：熟練掌握線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、三角形的中位線定理和平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．