【題目】已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓經(jīng)過點,且點為其右焦點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)是否存在平行于的直線,使得直線與橢圓有公共點,且直線與的距離等于4?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用橢圓的定義和焦點坐標(biāo)求出有關(guān)參數(shù)值,進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)先假設(shè)存在符合題意的直線,并設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式為正和點到直線的距離公式進(jìn)行求解.
試題解析:(Ⅰ)依題意,可設(shè)橢圓的方程為,且可知左焦點為,
從而有,解得,又,∴.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)假設(shè)存在符合題意的直線,其方程為.
由得.
∵直線與橢圓有公共點,∴,解得.
另一方面,直線與的距離等于4,可得,從而.
由于,∴符合題意的直線不存在.
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【題目】設(shè)數(shù)列是首項為0的遞增數(shù)列,,滿足:對于任意的總有兩個不同的根,則的通項公式為_________
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【題目】已知橢圓:的左右焦點分別為,過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點,且滿足.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過作斜率為的直線交于兩點. 為坐標(biāo)原點,若的面積為,求橢圓的方程.
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【題目】如圖①所示,四邊形為等腰梯形,,且于點為的中點.將沿著折起至的位置,得到如圖②所示的四棱錐.
(1)求證:平面;
(2)若平面平面,求二面角的余弦值.
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【題目】某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對產(chǎn)品進(jìn)行促銷,在一年內(nèi)預(yù)計銷售量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q= (x>1),已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品另需再投入32萬元,若每件銷售價為“年平均每件生產(chǎn)成本(生產(chǎn)成本不含廣告費)的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和.
(1)試將年利潤W(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù);(年利潤=銷售收入-成本)
(2)當(dāng)年廣告費為多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大?最大年利潤為多少萬元?
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【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費,超過的部分按議價收費,為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)設(shè)該市有30萬居民,估計全市居民中月均用量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計的值,并說明理由.
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【題目】已知點是直線與橢圓的一個公共點,分別為該橢圓的左右焦點,設(shè)取得最小值時橢圓為.
(I)求橢圓的方程;
(II)已知是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點,是橢圓上異于的任意一點,直線分別與軸交于點,試判斷是否為定值,并說明理由.
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【題目】某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐,對歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碩族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 低碳族的人數(shù) | 占本組的頻率 |
第一組 | 120 | 0.6 | |
第二組 | 195 | ||
第三組 | 100 | 0.5 | |
第四組 | 0.4 | ||
第五組 | 30 | 0.3 | |
第六組 | 15 | 0.3 |
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求的值(直接寫結(jié)果);
(2)從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動,其中選取2人作為領(lǐng)隊,求選取的2名領(lǐng)隊中至少有1人年齡在歲的概率.
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