Question

已知函數(shù)（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求k的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)；（Ⅱ）k的取值范圍是；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入求導(dǎo)，根據(jù)其符號(hào)即可得其單調(diào)性；（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)根.接下來(lái)就研究函數(shù)圖象特征，結(jié)合圖象便可知取何值時(shí)，方程有兩個(gè)根.

（Ⅲ）結(jié)合圖象可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足.

，這里面有兩個(gè)變量，那么能否換掉一個(gè)呢？

由，得，利用這個(gè)關(guān)系式便可將換掉而只留：

，這樣根據(jù)的范圍，便可得，從而使問(wèn)題得證.

試題解析：（Ⅰ）若，，則，

當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)． 4分

（Ⅱ）函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，是的兩個(gè)根，

即方程有兩個(gè)根，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增且；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減且．

要使有兩個(gè)根，只需，

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是． 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足， 10分

由，得，

所以，

由于，故，

所以． 14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、不等關(guān)系.