Question

函數(shù)f（x）=

1

4x+m

（m＞0），x₁、x₂∈R，當(dāng)x₁+x₂=1時(shí)，f（x₁）+f（x₂）=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）數(shù)列{a_n}，已知a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1），求a_n．

Answer 1

分析：（1）由f（x₁）+f（x₂）=

1

2

，得

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，由此可推導(dǎo)出m=2．
（2）由題意知a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）++f（

1

n

）+f（0）．由此可知2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]++[f（1）+f（0）]=

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n+1

2

，從而推出a_n=

n+1

4

．

解答：解：（1）由f（x₁）+f（x₂）=

1

2

，得

1

4x1+m

+

1

4x2+m

=

1

2

，
∴4^x1+4^x2+2m=

1

2

[4^x1+x2+m（4^x1+4^x2）+m²]．
∵x₁+x₂=1，∴（2-m）（4^x1+4^x2）=（m-2）²．
∴4^x1+4^x2=2-m或2-m=0．
∵4^x1+4^x2≥2

4x1•4x2

=2

4x1+x2

=4，
而m＞0時(shí)2-m＜2，∴4^x1+4^x2≠2-m．
∴m=2．
（2）∵a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）++f（

n-1

n

）+f（1），
∴a_n=f（1）+f（

n-1

n

）+f（

n-2

n

）++f（

1

n

）+f（0）．
∴2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]++[f（1）+f（0）]=

1

2

+

1

2

++

1

2

=

n+1

2

．
∴a_n=

n+1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．